Новое письмо

Мы изучим ваш вопрос, пожелание или просьбу.

Наши специалисты обязательно ответят вам в ближайшее время.

Сообщение:
Телефон или адрес электронной почты для связи с вами:
Пример:
8 905 456-56-84
или (343) 321-54-88
или email@ya.ru
Посчитайте результат: =
Отменить

Уважаемые учащиеся четвёртого  курса!

Ваш куратор — Елена Зеликовна Скворцова.

Вопросы, связанные с учёбой, вы можете задать Елене Зеликовне по электронной почте cskvorcova@math-vzms.org или (по четвергам с 10:00 до 14:00) по школьному телефону +7 495 939 39 30.

По вопросам технического содержания обращайтесь, пожалуйста, к методисту вашего курса Рапопорт Изабелле Яковлевне.

24 апреля. Опечатка в  задании "Перпендикуляр к плоскости".
Олег Зиновчик заподозрил наличие опечаток в условии задачи 7. Кроме несущественной опечатки (грань два раза названа сечением) в конце есть очень даже существенная. Слова "от центра призмы к" нужно заменить на "от вершины А до".



24 марта. Нам пишут. 

Здравствуйте! Есть ряд вопросов по
> задачам. В задаче 10 фигурирует куб, это
> опечатка или действительно нужно
> построить куб, а потом найти некий
> угол? Между какими двумя плоскостями?
> Здесь не уточняется.  В задаче 12 идет
> речь про какую-то призму, хотя призмы в
> задаче 9 вообще нет. В задаче 8 там
> имеется в виду прямоугольный
> параллелепипед, потому что, если он не
> прямоугольный, то найти площадь
> треугольников вроде нельзя?  Есть ли
> еще опечатки в других задачах в
> маршруте на 5? Если да, то пожалуйста
> разъясните.
> --
> Владислав Тыцкий

Ответы. В задаче 10 "куб" нужно заменить на параллелепипед (из задачи 8).Причем параллелепипед должен быть не просто прямой, а прямоугольный.  задаче 12 ссылка должна быть на задачу не 9, а 11. Про часть из тих опечаток уже написал Олег Зиновчик и я об этом сообщила на сайте. На маршрут на 5 пока никто не жаловался.

22 марта. Нам пишут. Олег Зиновчик написал:Здравствуйте!

 Возник ряд вопросов по поводу мартовских заданий. Нет ли опечаток в
  1) №2 маршрута на 4 темы уравнений (лишний множитель?);
  2) №6 темы геометрии (неоднозначная проекция из-за неизвестного CD?);
  3) №10 и 12 темы геометрии (в задачах-ссылках нет таких многогранников).
 С уважением,
Олег

Ответы:

1) Есть. Убери первый или последний.
2). Пусть будет неоднозначно. Там все равно ничего не требуется вычислять.
3)Я там какую-то задачу вставила и забыла изменить ссылки на номера. В задачах 9 и 10 должна быть ссылка на 8, в 12-на 11.

5 марта. Нам пишут.
Здравствуйте Елена Зеликовна.  

В задаче 2, правильная шестиугольная призма SABCDEFA1B1C1D1E1F1. S  это центр верхнего основания? 

Или это вершина надстроенной пирамиды  SABCDEF?

С4М15 - 013, Бубеева Кристина. 
Ответ. Бяка -закаляка кусачая у меня получилась непреднамеренно. Просто я в процессе написания условия два раза перепутала призму с пирамидой. S из первого предложения текста условия нужно убрать, а в последнем заменить на С один.

15 февраля. Нам пишут.
Олег Зиновчик написал:
Здравствуйте!
Нет ли опечатки в задаче №7 февральской темы геометрии в маршруте на зачет?
С уважением,
Олег.
Ответ:  Конечно, данных для построения сечения недостаточно. Вместо "точку К" должно быть "точки К и D".
15 января Нам пишут.
Дима Саюн написал:
Здравствуйте Елена Зеликовна!  В заданиях на январь в "Маршруте на зачет" написано "Упражнение 4.2 на стр. 48. Но на странице 48 нет такого номера. На ближайших страницах тоже нет. Где его найти?
Ответ. Мне удалось найти это упражнение на стр.16-17.
6 января. Нам пишут.Олег Зиновчик написал 2017-01-04 13:33:
> Здравствуйте!
> Хотелось бы уточнить: нет ли опечатки
> в книге "Тригонометрия" на странице 98 в
> номере 18.2, в формуле?
> С уважением,
> Олег.
Ответ: конечно, есть. Найдите её, исправьте и докажите исправленное.

22 ноября. Вниманию выполняющих задание "Тождества". Ответ на вопрос Кристины Бубеевой.

Кристина Бубеева писала 2016-11-21 19:13:

> Добрый вечер Елена Зеликовна. При

> решении задач на ноябрь возник вопрос,

> как доказывать тригонометрические

> формулы? Я не совсем понимаю в каком

> формате я должна представить вам

> решение и поэтому хотела бы вас

> попросить обьяснить на примере :

> arccos(-x)=П - arccosx.

> Бубеева Кристина, С4М15 - 013

Вопрос,как доказывать тригонометрические

> формулы, действительно, слишком общий.Как видно из параграфа

"Простейшие формулы", исходить обычно нужно из уже известных

формул и определений конкретных тригонометрических функций.

Твой пример - особенный тем, что имеет дело с обратными

тригонометрическими функциями. Тут я бы рассуждала так.

Допустим, что при каком-то х равенство выполняется. Тогда равны

косинусы левой и правой частей. По определению арккосинуса при

х из области определения арккосинуса , то есть х от -1 до 1,

cos( arccosx)=х.Зная это, найди и сравни косинусы левой и правой частей.

А теперь общее соображение. Допустим, что f(а)=f(в). Следует ли

отсюда, что а=в? Ответ: в общем случае нет, так как функция f

имеет право при разных значениях х принимать одно и тоже

значение у. Вывод а=в можно сделать только в том случае,

если известно, что а и в принадлежат какому-то промежутку

значений х, в котором функция строго возрастает, строго убывает,

или просто каждое значение у принимает максимум один раз.

Но обратные тригонометрические функции специально подогнаны

под это требование. В частности, функция у=cosх на участке [0;пи]

принимает каждое свое значение ровно 1 раз.

Поэтому теперь осталось обратить внимание на то, при всех ли х

значения arccos(-x)и П - arccosx находятся в каком-то одном

промежутке, в котором у=cosх принимает каждое свое значение

ровно 1 раз. Выясни это, исходя из того, что arccosx всегда по

определению берется из промежутка [0;пи].


21 ноября.Объявление.Многие , наверное, удивились, обнаружив, что задание на ноябрь только по алгебре. Объясняю: задание по геометрии сбежало во время редактирования. Но мне удалось его разыскать.Помещаю его здесь. Срок присылки этой  части задания на ноябрь сдвигаю на 10 декабря.

Задание «Азбука геометрических мест точек.»

Теория — стр.23 -37 книги «Прямые и кривые».

Маршрут на зачет.

Задачи 2.1-2.4 на стр.24 книги.

Маршрут на 4.

К маршруту на 3 добавляем задачи не из книги(но все они либо сводятся к Азбуке либо решаются методами, рассмотренными при обосновании пунктов Азбуки):

Задача 1. Точки А,В и С лежат на одной прямой, причем В между А и С. Найдите геометрическое место точек М таких, что радиусы окружностей, описанных вокруг треугольников АМВ и СМВ равны.

Задача 2. На окружности фиксирована точка А. Найдите геометрическое место точек, делящих хорды с концом А в отношении 2:1, считая от А.

Задача 3. Даны точки А и В. Найдите геометрическое место точек М таких, что АМ·ВМ·cosАМВ=3/4 АВ2.

Задача 4. Найдите геометрическое место точек, произведение расстояний от которых до двух противоположных сторон квадрата равно произведению расстояний до двух других его противоположных сторон.

Маршрут на 5.

К маршруту на 4 добавляем задачи 2.6; 2.7;2.8 б);2.10;2.13-2.16; 2.19 б); 2.20 а).


20 ноября.

Влад Тыцкий писал 2016-11-19 17:26:

Здравствуйте, доделываю задачи по
геометрии, со дня на день скину Вам, но
наткнулся на задачу 1.12 в книге "прямые
и кривые". Формулировка
такова:"построить окружность данного
радиуса r, касательную к данной прямой
и данной окружности". Что значит
касательная к прямой? И еще ведь эта
задача о касательной к окружности
разбиралась в учебнике, зачем мне ее
делать, если решение уже написано?
Возможно, здесь какой-то подвох именно
в словах "КАСАТЕЛЬНУЮ К ДАННОЙ
ПРЯМОЙ"?

--
влад тыцкий

<br>
<b>Всем, кого заинтересовал вопрос Влада, советую прочитать ответ.</b>
Влад!
Никакого подвоха тут нет. Просто имеется в виду, что 
окружность, которую нужно построить, должна касаться 
прямой, которая считается данной, то есть то же самое, 
что прямая касается окружности, а сложность не в 
этом, а как в любой задаче на построение, 
разобраться, что дано, и что это значит,
 а что требуется построить. Про окружность и
 прямую я нашла в параграфе только одну задачу 1.4.
 В ней даны окружность и точка будущей прямой, 
а прямая не дана. То есть это совсем другая задача.
 Хорошо, что ты хоть заметил разницу с точки
 научиться понимать математический язык.
Решение 1.12 начни с того, что нарисуй то, 
что дано, то есть как вороне бог послал кусочек
 сыру, считай, что тебе кто-то прислал окружность 
и прямую. Окружность и прямая по отношению друг к 
другу могут располагаться по-разному. Чтобы охватить
 все варианты, нарисуй сначала прямую и окружность 
так, чтобы они пересекались.
Теперь тебе нужно найти способ циркулем и линейкой 
построить искомую окружность. Радиус её считается 
данным. Поэтому считай, что тебе послали еще и 
некоторый отрезок. Нарисуй первый попавшийся. Он 
будет радиусом искомой окружности. Измерять его
 линейкой с делениями нельзя, но можно циркулем 
откладывать отрезки такой длины. Итак, радиус 
известен. Значит главное- построить центр.Вот 
теперь вспомним про ГМТ. Подумай, где должен
 находиться центр, чтобы окружность , радиус 
которой равен нарисованному тобой данному отрезку,
 касалась данной прямой. Другими словами, найди ГМТ 
точек- центров окружностей данного радиуса,
 касающихся данной прямой.
Кроме этого, найди ГМТ центров окружностей 
данного радиуса, касающихся данной окружности. 
После этого останется построить эти 2 ГМТ и найти их
 точки пересечения. Они и будут центрами окружностей,
 удовлетворяющих условию задачи.

16 апреля. Проверила работу "ОГЭ. Геометрия." Димы Кузьмина. Решены правильно 

 все задачи, кроме 4-ой. В 4ой Дима не совсем правильно понял условие.

2 апреля. Олег Зиновчик уже выполнил задание "ОГЭ. Геометрия." Я опасалась, что задание получилось слишком трудное. Но по крайней мере для Олега, похоже, не слишком. Результаты Олега :

1        2      34567

+/-  + -/+   +++++

Кто больше?

27 марта. Объявление для выполняющих задание "ОГЭ. Геометрия."

Пришло письмо от Олега Зиновчика.

                                                                          Ответы на вопросы Олега:
> Здравствуйте!!
>   В задании на подготовку к ОГЭ
> (геометрия) в условии №6 нашлись
> ошибки:
>   "На одной стороне угла Е взяты точки А
> и В, а на другой точка Е. Точки С и D -
> проекции точек В и А соответственно на
> другую сторону угла, точка Н - проекция
> Е на другую сторону угла. Угол ТЕА
> (откуда?) равен углу АВЕ." Верно ли, что       Верно. Поэтому в первом предложении                                                                                      условия "угла Е" нужно заменить на "угла                                                                                  Т"
> дан угол Т?
>   Еще вопрос по задаче 3: нет ли еще           Данных действительно недостаточно.                                                                                        Добавь ВС=а.
> данных?
>  С уважением,
>  Олег

 23 марта. Проверила работы Даниловых Даши и Саши. Результаты почти такие же, как у Ксюши Лакшиной и Олега Зиновчика. Но  слишком зашкаливает влияние репетиторов. Главная цель стандартного репетитора - научить действовать автоматически, не думая. Это хорошо помогает на экзамене в стандартных ситуациях, но стоит ситуации чуть-чуть измениться, и сразу становится заметно, что ученик сам не понимает, что делает, что производит на проверяющего удручающее впечатление.

22 марта. Проверила работу Ксюши Лакшиной. Трудно сказать, чья работа лучше- Ксюши или Олега Зиновчика. Основной недостаток работы Ксюши - слишком мало объяснений, как она рассуждала.Графики берутся с потолка. Зато у неё доведено до конца решение самой запугивающей задачи-11 (Олег не построил в этой задаче  график).


                     1     2 3      4           5 6   7     8   9   10    11

Ксюша        +/-  + +/- ++++       + +- +/-  + -/+ +-/+   +/-.

Олег           +/-  -/++   ++/--+/-   + +   +    +  +- +/-   +0

Амина       -/+   + +/-   +++-       + +   +   +  +  -/+  -+

Боря          -/+    +  -     +-++      +  +  +  +  -   -/+    0 


18 марта. Внимание! Пришло письмо от Даши Даниловой.

Я обнаружила опечатку в номере 4 (см. фото). Так какой же угол равен углу PBC? С уважением,Данилова Дарья

Отвечаю. Равны углы РАС и РВС.

13 марта. Проверила "Алгебру"Амины Шафеевой. Результаты лучше, чем у Бори Литвиненко.

                     1     2 3      4         5 6 7 8 9 10    11

Амина       -/+   + +/-   +++-   + + + + + -/+  -+

Боря          -/+    +  -     +-++   +  + ++ - -/+    0

Кто ещё больше?

 29 февраля. Боря Литвиненко уже выполнил часть "Алгебра" Спецзадания по подготовке к ОГЭ. Его результаты:

1     2 3    4        5 6 7 8 9 10 11

-/+  + -   +-++   +  + ++ - -/+  0

Кто больше?


30 ноября. Тем, кто еще не дошел до конца маршрута на 4 задания "Условная вероятность" и тем, кто уже прошел по этому маршруту.

Одна девочка шла по этому маршруту и дошла до задачи 43.

Во сколько раз доля блондинов среди голубоглазых в Тьмутараканском царстве больше доли голубоглазых среди блондинов?

Задача была трудная, но девочка была смелая и находчивая. Она считала, что при решении задач главное- знать нужные формулы. Тогда останется только подставить числа и вычислить. Она нашла на той же странице, где было условие задачи, формулу Байеса. И совершенно правильно поняла, что эта формула , переписанная в виде :

Pr(A|B):Pr(B|A)= Pr(A):Pr(B)

как раз дает отношение доли блондинов среди голубоглазых к доле голубоглазых среди блондинов , если события А и В заключаются в том, что схваченный наугад тьмутараканец окажется блондином для А и голубоглазым для В.

Но тут возникло неожиданное препятствие: что подставить в правую часть. Ведь мы не знаем, сколько всего жителей в Тьмутаракании и сколько среди них блондинов и голубоглазых. От волнения девочка забыла, что идет по маршруту на 4 , и применила "метод двоечника": если не знаешь, как действовать правильно, то действуй наудачу. Если есть числа, складывай, умножай, дели- авось, получится правильный ответ.

Девочка обозначила количество блондинов буквой n. Тогда голубоглазых 2n, а всего-n+2n=3n. Значит P(A)=n:3n=1/3;  P(В)=2n:3n=2/3. Таким образом  P(A) в два раза меньше ,чем P(B), а значит и доля блондинов среди голубоглазых в два раза меньше, чем голубоглазых среди блондинов.

Тем самым девочка полностью забыла, чему её учили в задании "Сумма вероятностей".

Ведь в сумме n+2n дважды подсчитаны те кто является одновременно блондином и голубоглазым. То есть  P(A) и  P(В) найдены правильно только для случая, когда голубоглазых блондинов (а также тех, кто не является ни блондином, ни голубоглазым) нет совсем. Но именно в случае, когда голубоглазых блондинов нет совсем, задача (как и формула Байеса) теряет смысл, так как условные вероятности становятся равными 0, а на 0 делить нельзя.

Ответ у девочки получился правильный потому, что при любом ненулевом количестве голубоглазых блондинов отношение  P(A) к  P(В) то же, что и при нулевом -1/2. Ведь при нахождении  P(A) и  P(В) количество равноправных шансов одно и то же -количество жит елей Тьмутаракании, а количество благоприятных для А в два раза меньше, чем для В, так как по условию блондинов в два раза меньше.

27 декабря. Срочно! Опечатка в условии 7-9.Как сообщила Кристина Бубеева, построив график данной в условии функции, у него не обнаружилось осей симметрии и тем более, прямая х=-1 не является его осью симметрии ( на эту прямую намекает подсказка в книге.)

Кристина догадалась, как сделать,чтобы условие и подсказка стали правильными - добавить в формуле, задающей функцию, слагаемое 2х. Сделайте это и учтите, что график в качестве доказательства не годится - по графику можно что-либо увидеть только приблизительно и только на том участке, который поместился на листе. Вместо этого нужно рассмотреть функцию у=f(х+1) и доказать, что она четная. Почему из этого будет следовать, что у=f(х) имеет ось симметрии?

21 декабря. 

Вчера я для Димы Кузьмина и всех остальных привела пример, объясняющий, зачем нужны условные вероятности. А сегодня вспомнила лучший пример.

В коробке 5 белых и 5 черных шариков. Не глядя, вытаскивают сначала один, а потом ещё один. Какова вероятность того, что оба будут белые?

Нам нужно, чтобы произошли сразу два события: А — первый шарик белый; В — второй, то есть нужно найти вероятность произведения этих событий. Некоторые полагают, что вероятность произведения АВ всегда равна произведению вероятностей А и В. На самом деле это верно только для независимых событий . Например, если бы у нас было 2 коробки , в каждой 5 белых и 5 черных шариков, и первый шарик мы брали из одной коробки, а второй из другой, то вероятность, что оба белые была бы (5/10)*(5/10)=1/4.

А у нас исход вытаскивания второго шарика зависит от того, какого цвета мы вытащили первый. В любом случае после вытаскивания одного шарика, остается 9 равновозможных исходов. А благоприятных, то есть белых шариков, - 5, если первый черный, и 4, если первый белый. Это означает, что в нашем случае вероятность А|В равна 4/9. А

Pr(AB)= Pr(A)Pr(B|A)=(5/10)*(4/9)=2/9.

Некоторые решали этим способом задачи еще в октябре, когда мы проходили только определение вероятности. При этом не объясняя, что используют условную вероятность и формулу Pr(AB)= Pr(A)Pr(B|A). Мне даже не всегда хватало терпения объяснять- придираться, особенно в трудных задачах. Зато теперь вы имеете право использовать этот метод уже на научной основе.

Например, вернемся к задаче:

Из четырех карточек с буквами составлено слово мама. Карточки перемешали и затем выложили в случайном порядке. Какова вероятность, что получится то же самое слово?

Нам нужно, чтобы произошли одновременно 4 события: А -первая буква м, В — вторая а, С -третья м, D-четвертая а , то есть нужно найти вероятность их произведения АВСD. Вероятность А равна 2/4.

Вероятность В при условии, что произошло А, равна 2/3 (букв стало на 1 меньше, но количество букв а осталось прежним).

Вероятность С при условии, что произошли А и В равна ½.

Вероятность D при условии, что произошли А,В и С — 1 (осталась ровно одна буква, причем это буква а).

Значит вероятность АВСD равна (2/4)*(2/3)*(1/2)=1/6.

20 декабря. Нам пишут.

Здравствуйте!

У меня возник вопрос по теме "Условная вероятность". Объясните мне, пожалуйста, как вычисляется условная вероятность, а точнее, как рассчитать её, если даны вероятность события и вероятность его условия. Теорию я прочитал и формулу я знаю, но смысл её мне не понятен.

Заранее спасибо!

С уважением, Кузьмин Дмитрий.

Объясняю, для чего нужна формула Рr(AB)=Pr(B)Pr(A|B) на конкретном примере.

Игральную кость бросают 2 раза. Найти вероятность того, что сумма очков будет 9.

Итак: событие А — сумма очков 9.

Естественно рассуждать так.

Пусть условие Вiзаключается в том, что на первой кости выпало i очков. Тогда Вероятность каждого из условий при I от 1 до 6 равна 1/6.

Если сначала выпадет меньше трех очков, то есть I от 1 или 2, то вероятность A|Bi равна 0, так как , что бы ни выпало при втором бросании, сумма будет меньше 9.Вероятность A|Bi тоже будет 0.

В остальных случаях, то есть I от 3 до 6,Pr(A|B1) =1/6, так как при втором бросании кости нас устроит только 9-i. А вероятность того, что произойдет Вi равна тоже 1/6. Значит вероятность А Вi равна 1/6*1/6=1/36.

Поскольку все Bi несовместны, то и все ABi несовместны. А так как А это сумма всех ABi , то вероятность А это сумма 6 слагаемых, два из которых 0, а 4 равны 1/36. То есть вероятность А равна (1/36)*4=1/9.

То же самое мы получим и и сходя из определения вероятностей, так как равновероятных шансов 6*6=36, а благоприятные — 3и 6; 4 и 5; 5 и 4; 6 и 3. Но теперь, надеюсь, смысл и роль понятия условной вероятности стали понятнее.

28 ноября. Пришли первые работы за ноябрь. Вижу, что я немного недооценила трудность одной из задач из маршрута на зачет. И одной из маршрута на 4. Приведу разъяснения, которые полезно прочитать не только тем, кто ещё не отправил работу, но и тем, кто уже отправил.

Рассмотрим такой пример:

Верно ли высказывание"Если х2=1, то х=1?". Если неверно, то приведите опровергающий пример.

Рассуждаем так.Из х2=1 не следует , что х=1, так как х может быть равно и -1. Значит, опровергающий пример - х=-1. Для него условие 

х2=1 верно, а заключение х=1 - нет.

Обобщаем. Неверно "Если А(х), то В(х)" означает "Есть хоть один такой х, при котором

А(х) верно, а  В(х)- нет."

Теперь в задаче 20 о переворачивании карточек вопрос можем переформулировать так:

какие карточки нужно переворачивать, а какие нет, чтобы выяснить, есть ли среди них пример, опровергающий утверждение:"Если на одной стороне гласная буква, то на другой -четное число". Нужно ли заглянуть на другую сторону карточки с буквой А? Что мы должны увидеть на другой стороне, чтобы сказать, что эта карточка дает опровергающий пример? А нужно ли смотреть, что на другой стороне у карточки с Б? Обратите внимание, что в условии не говорится, что у каждой карточки на одной стороне буква,а на другой цифра.

К задаче 25. Пусть А и В - два конечных множества; n(A) - количество элементов множества А, n(B) - множества В. Сколько может быть элементов в их объединении - множестве, состоящем из всех элементов А и всех элементов В? Каковы самое большое и самое маленькое возможное количество? 

Решение : Самое большое возможное количество это n(A)+n(B), оно достигается , когда в этой сумме никакой элемент не подсчитан дважды, то есть когда А и В не имеют общих элементов. Самое большое получается, когда В никаких элементов не добавляет к А или А к В. То есть когда А содержится в В или наоборот. Соответственно оно равно максимуму двух чисел - n(A)и n(B).

Аналогично для трех множеств наибольшее значение количества элементов в их объединении  достигается тогда, когда ни у каких двух из них нет общих элементов, то есть эти множества попарно не пересекаются. А наименьшее - когда два из них содержатся в третьем.

Теперь, чтобы решить 25, осталось применить еще одну хитрость - перейти к дополнениям множеств. Дополнение некоторого множества учеников класса до множества всех учеников класса это множество всех остальных учеников класса. То есть дополнение множества курящих учеников это множество не курящих, а дополнение множества не курящих - множество курящих. Дополнение к пересечению нескольких множеств это всегда пересечение их дополнений. А дополнение к объединению - пересечение дополнений. (Подумайте, почему. ) Нас интересует в задаче 25 число элементов в пересечении множеств не курящих, не пьющих и учащихся без троек. Если Вы с помощью жирного текста найдете наибольшее и наименьшее возможное количество элементов в объединении множеств курящих, пьющих и учащихся с тройками (или имеющих хоть по одному предмету оценку 3 или ниже), то как после этого ответить на вопрос задачи?

26 сентября. Саша Салехов уже прислал работу за сентябрь.Я предвидела некоторые трудности, которые может вызвать тема "Применение метода координат " в начале 9 класса.Ведь вы еще не имеете достаточного опыта решения и исследования уравнений с параметрами выкладками, а тут предлагается сразу исследовать их геометрически.  Но работа Саши превзошла все мои опасения. Саша решил, что достаточно хорошо умеет решать и исследовать уравнения с помощью выкладок, и ему незачем учиться использовать метод координат в этих целях. Но при этом оказалось, что он пока вообще не понимает , что значит решить уравнение или систему с параметрами, путает неизвестные с параметрами.

К задаче 25. Пусть А и В - два конечных множества; n(A) - количество элементов множества А, n(B) - множества В. Сколько может быть элементов в их объединении - множестве, состоящем из всех элементов А и всех элементов В? Каковы самое большое и самое маленькое возможное количество? 

Решение : Самое большое возможное количество это n(A)+n(B), оно достигается , когда в этой сумме никакой элемент не подсчитан дважды, то есть когда А и В не имеют общих элементов. Самое большое получается, когда В никаких элементов не добавляет к А или А к В. То есть когда А содержится в В или наоборот. Соответственно оно равно максимуму двух чисел -  n(A)и n(B).


Для Саши и всех остальных приведу простые примеры.

1. Требуется исследовать уравнение с параметрами ах+by=1.

Если в условии не сказано, где неизвестные, а где параметры, обычно подразумевается, что х,у -неизвестные, а а и b -параметры. Решить уравнение с двумя неизвестными  без параметров значит найти все пары(х, у) , при которых оно обращается в верное равенство, а с параметрами - выразить все такие пары через параметры. Например, в данном случае можно поступить так: при а=0 и одновременно b=0 решений нет, так как , какие бы мы ни взяли х и у, левая часть равна 0, а не 1. (А вот фразы вроде при у=0 и а=0 решений нет, может написать только тот, кто путает неизвестное у с параметром.) При а не равном 0 и b =0 имеем ах=1, х=1/а. Значит решения - пары (1/а;у), где у любое число. Аналогично при а=0; b не равном 0.  А в случае когда оба параметра отличны от 0 ответ можно записать так: решения - пары(х; (1-ах)/b), где х любое число; или так:решения - пары  ((1-bу)/а;у), где у любое число.

А если требуется еще ответить на вопрос, сколько решений может иметь уравнение в зависимости от значений параметров, то подводим итог так:  при а=0 и одновременно b=0 решений нет, а для любой другой пары значений а и b - решений бесконечно много. (Тот , кто думает, что  При а не равном 0 и b =0 решение единственно, ошибается, так как это х единственно , а пар (х;у) бесконечно много за счет того, что у годится любое.)

Геометрически же на вопрос,сколько решений может иметь это  уравнение в зависимости от значений параметров,  можно ответить сразу:  при а=0 и одновременно b=0 решений нет, так как ... . А в остальных случаях решения - все точки прямой  ах+by=1, а так как точек на прямой бесконечно много, то и решений бесконечно много.

Обратите внимание, что в задаче 10-4 вопрос сформулирован не так, как в разобранной в книге задаче 10-3.Дело в том, что в 10-4 некоторые пункты имеют дело с параболами, а про общие точки параболы с параболой, или с окружностью, и даже с прямой в школе ничего не проходят. Поэтому среди пунктов 2)-6)есть такие, в которых мы можем полностью решить вопрос о том, как число решений зависит от значений параметров. В этих пунктах достаточно нарисовать конкретные примеры для всех возможных вариантов числа решений, указав конкретно значения параметров, которым соответствует рисунок. А вот в пунктах 1) ; 7) и 8) нужно действовать как в решении 10-3.

Например, в пункте 3) сначала нарисуйте линии, которые задают данные уравнения , например, при а=1 и b=0. Сколько получилось общих точек ? Теперь представьте себе, как будет меняться и перемещаться парабола при уменьшении или увеличении параметров. Как вам кажется по чертежу, какие возможны варианты числа решений? Для всех этих вариантов нарисуйте (на отдельных чертежах) примеры с конкретными значениями параметров.