Уважаемые учащиеся пятого курса!
Ваш преподаватель - Семенов Кирилл Владимирович.
Вопросы, связанные с учёбой, вы можете задать написав на почту 11@math-vzms.org) по школьным телефонам: 8-495-939-39-30, 8-926-280-28-20.
17 февраля. Нам пишут. Андрей Державин и Т.И. Довжанская уже приступили к выполнению задания за февраль и обнаружили опечатку в условии задачи 3 из задания по геометрии.
Татьяна Довжанская писала 2017-02-10 13:17:
Задача 3. Дан выпуклый четырехугольник АВСD. Вокруг треугольников АВС
и АВD описаны окружности. При этом прямая АВ касается второй
окружности, а СD - первой. Найдите на чертеже все пары равных углов.
Не забудьте обосновать ответ. Есть ли на чертеже подобные
треугольники? Найдите сторону АD четырехугольника, если стороны АВ; ВС
и СD равны соответственно а, в и с.
Здравствуйте Елена Зеликовна! Мой номер F3M15-001
Возник вопрос, как может АВ касаться окружности,описанной вокруг
треугольника АВD?
С уважением Довжанская . Т. И.
Ответ:Первый треугольник должен быть АВД, а не АВС. То есть у них общая сторона должна быть ВД. Спасибо за бдительность.
28 ноября. Замеченная опечатка. Судя по Вашим письмам, два человека уже приступили к выполнению задания за ноябрь. Это Даниил Прямиков и Лиза Ванеева. Оба не смогли пройти мимо одной лишней строчки.
31 октября. Информация для тех, кто еще не отправил на проверку работу за октябрь. При проверке работы Лизы Ванеевой "Площади -1" я обнаружила опечатку в условии задачи на 5. Вместо "треугольник АВЕ" следует читать "треугольник АDЕ".
19 октября. Паша Иванов уже прислал на проверку "Функции и графики. Ведение."
Тем, кто не понял, как нужно рассуждать и действовать , чтобы определить по графику у=f(x), сколько решений имеет уравнение у=кх в зависимости от к, советую посмотреть подсказку к работе Паши.oct -16 Iv.Pavel.pdf Кстати, в целом работа Паши мне очень понравилась.
18 октября. Замеченные опечатки в заданиях на октябрь.
В задании "Площади-1" вторую из задач 536 замените на 537.
В задании "Функции и графики" вместо f(0)=kx в 5-ой строке маршрута на зачет читайте f(x)=kx.
Спасибо сообщившим об этих опечатках Т.Довжанской, Диме Кочику и Паше Иванову.
18 октября.
Выполняющим задание "Определение вероятности". Маленькие хитрости.
Первая хитрость.Хотя задачи из параграфов 3 и 4 — задачи на подсчет количества всех равновозможных шансов и шансов благоприятных , среди них попадаются такие , в которых прямой подсчет нерационален. Например, 7ё). Прочтите на стр. 12 книги Шеня о противоположных событиях. Если Вы уже нашли вероятность события А, то вероятность события «не А» нет смысла находить непосредственно исходя из определения вероятности. Больше того, прежде, чем находить вероятность события А, особенно в случаях, когда А задается предложением, содержащим какие-то «логические слова» вроде «хотя бы один», следует сначала подумать, не будет ли проще найти сначала вероятность «не А».
Вторая хитрость. Самые красивые задачи- те, в которых можно почти ничего не вычислять, воспользовавшись чем-то вроде законов сохранения. Пример — задача 8 , где автор иллюстрирует применение соображений симметрии. Правда, при использовании таких соображений нужно быть осторожным , а при записи решения четко объяснять, почему вы считаете, что вероятность не изменится. К сожалению, подходящие примеры такого типа для самостоятельного решения появятся только в параграфе «Условная вероятность». Но тем, кто будет идти по маршруту на 5, советую подумать, не поможет ли решить эту задачу то, что справа от Маши с одинаковым успехом может сесть любой из остальных присутствующих, а по обе стороны от Маши -любая пара остальных присутствующих.
17 октября.Тренируем проницательность или "Где спрятаны формулы комбинаторики?"
Проницательные читатели, наверное, уже заметили, что в параграфе 3 книги Шеня формулы комбинаторики еще не нужны — задачи решаются перебором вариантов. Зато в параграфе 4 в задаче 7 объяснения сводятся к повторению тех рассуждений, которые используются для вывода общих формул комбинаторики. Соответственно при решении задачи 14 з), й), н), р) вы должны либо повторять такие рассуждения, если они вам еще не надоели, либо применять формулы и правила комбинаторики, не забывая объяснять, какую формулу вы выбрали и почему.
Например, количество всех исходов в задаче 7 это число размещений с повторениями из 6 элементов по 4. Размещений потому, что место цифры в четверке показывает, на каком кубике она выпала. С повторениями -потому, что , например, в варианте (5;1;6;5) цифра 5 повторяется — она выпала на двух кубиках.
В пункте в) слова «нужно выбрать два места из четырех» означают, что мы имеем место с сочетаниями из 4 элементов по 2- ведь мы выбираем эти два места для одной и той же роли — поместить туда 6.
Пункт г) очень простой, но решается в 3 действия. План — сначала выбираем место для 6 (4 варианта), потом — расставляем цифры на остальных 3 местах (поскольку 6 должна быть только одна, цифр осталось 5, находим число размещений с повторениями из 5 элементов по 3. В книге подробно объясняется, почему выполнены условия для применения правила произведения - какое бы место мы ни выбрали для 6, количество вариантов расстановки остальных трех цифр одно и то же.
Пункт д) повторяет вывод формулы числа размещений без повторений.
14 октября. Выполняющим задание "Определение вероятности".
Книга Шеня, как утверждает сам автор, не требует никаких предварительных знаний и умений, кроме умения выполнять действия с дробями и процентами. Это плюс для тех, кто больше ничего из школьного курса не помнит или еще не проходил. Но минус для тех, кто хоть немного знает комбинаторику. Для них он превращается в призыв"забудьте все, чему Вас учили раньше". Тогда как гораздо эффективнее, изучая новое, связывать его с тем, что человеку уже известно. На самом деле Шень мимоходом пытается научить решать задачи по комбинаторике, но умышленно это маскирует. Так что только самые проницательные и догадливые читатели могут сообразить, в каких примерах они имеют дело с теми методами, с которыми уже встречались в комбинаторике. А поскольку мне не хочется, чтобы вы окончательно забыли комбинаторику, я постараюсь вам её напомнить. А вы постарайтесь заметить, где Шень пытается избежать использования понятий и формул комбинаторики и выводить эти формулы отдельно для конкретных примеров.
Повторим комбинаторику.
Допустим, что из класса, в котором учатся 25 человек, нужно выбрать трех человек. Тогда разные
способы отличаются друг от друга только тем, кто входит в состав тройки, то есть только
составом. Например, (Иванов; Петров; Бобина) и (Иванов; Бобина; Петров) — один и тот же
способ. В этом случае разные способы называют (неупорядоченными) подмножествами
(содержащими по 3 элемента из данного 25-элементного множества) или сочетаниями (из 25
элементов по 3).
Теперь пусть учительница собирается вызвать к доске трех человек. Если нам не важно, в каком
порядке она их вызывает, и вообще не важно ничего, кроме того, кто именно пойдет к доске, то,
как мы уже говорили, способы - это сочетания. Если же, например, учитель заранее назвал 3
вопроса и важно, кто на какой вопрос будет отвечать, то способы (Иванов; Петров; Бобина) и
(Иванов; Бобина; Петров) —разные, так как в одном, например, Бобина отвечает на третий
вопрос, а в другом на второй. Если при этом допускаются варианты (Иванов; Бобина; Бобина) или
(Бобина; Бобина; Бобина), то есть Бобина может ответить сразу на несколько вопросов, то
способы называют кортежами или размещениями с повторениями, а если каждый ученик отвечает
не больше, чем на 1 вопрос, то кортежами без повторений или размещениями без повторений.
Найдем число всех размещений с повторениями из 25 элементов по 3.
Будем рассуждать так. Элемент, который будет стоять на первом месте можно выбрать 25 способами. Элемент, который будет стоять на втором месте, независимо от того, какой элемент мы поставили на первое место, можно выбрать тоже 25 способами, на третьем тоже 25 способами. Таким образом количество способов на кадом следующем шаге увеличивается в 25 раз, а всего их 25* 25*25=253.
В общем случае Rnm— число размещений с
повторениями из n элементов по m равно Rnm =nm.
А теперь найдем число всех размещений без повторений из 25 элементов по 3.
Будем рассуждать так. Элемент, который будет стоять на первом месте можно выбрать 25 способами. После того, как первый элемент уже выбран, ...элемент, который будет стоять на втором месте, какой элемент мы поставили на первое место, можно выбрать тоже 24 способами, после этого для третьего 24 способа. Теперь осталось применить правило произедения. Получаем, что размещений без повторений из 25 элементов по 3 всего 25*24*23 .
Напоминаю, что правило произведения в комбинаторике выглядит так: если первое действие (первый выбор) можно осуществить k способами, после этого для второго действия остается m вариантов, после этого для третьего n вариантов и т.д., то количество вариантов выполнить все 3 или больше действий находится умножением: k умножаем на m, полученный результат на n и т.д.
В общем случае Аnm— числа размещений без повторений из
n элементов по m равно Аnm=n(n-1)(n-2)...(всего m множителей)=n(n-1)...(n-(m-1))=n!:m!.
Решим задачу: сколько всего партий должно быть сыграно,
если каждый из k шахматистов сыграет с каждым по одной партии?
Как вы думаете, (Иванов; Бобина) и (Бобина; Иванов) это одна партия или разные? Чему равно число сочетаний из n элементов по 2?
Решение. Поскольку нам не важно, кто играет белыми, а кто черными, то кортежи (Иванов; Бобина) и (Бобина; Иванов) задают одну и ту же партию. Значит, партий в 2 раза меньше чем упорядоченных пар, то есть чем размещений без поторений по 2 элемента. Значит, их к(к-1):2.
Допустим, что вы выписали все различные кортежи (упорядоченные наборы) без повторений
длины 3, составленные из учеников класса. Пусть Иванов, Петров и Бобина — трое из 25 учеников этого класса. Сколько троек, состоящих из этих трех учеников, войдет в ваш список? Во сколько раз число сочетаний из 25 элементов по 3 меньше числа размещений без повторений из 25 элементов по 3 ? А во сколько раз число сочетаний из n элементов по m (оно обозначается С nm) меньше, чем Аnm?
Решение. Мы уже знаем, что кортежей без повторений из трех элементов по 3 всего А33=3*2*1=3!. Все кортежи, состоящие из одних и тех же людей, задают одно и то же неупорядоченное подмножество. Значит сочетаний из 25 элементов по 3 в 3! раз меньше, чем размещений без повторений.
В обшем случае число сочетаний из n элементов по m С nm = А nm: m!=n!^((m!(n-m)!).
А теперь рассмотрим задачи в несколько действий.
Задача .В классе изучают 10 предметов. В среду 5 уроков.
Сколькими различными способами можно составить расписание на среду , если должно обязательно быть 2 урока
математики (не обязательно подряд) и 2 урока физкультуры(обязательно подряд)?
Решение. В такой задаче, требующей для своего решения нескольких действий, обязательно нужно как следует продумать план действий, чтобы свести решение задачи к известным формулам и правилам. Удобно ли начать решение с выбора первого урока? Нет, так как можно улечься и не оставить места для математики и физкультуры. А с чего лучше начать, с размещения в расписании уроков физкультуры или уроков математики? Лучше с физкультуры, так как она более привередливая. После того как вы выбрали место для уроков физкультуры, сколько останется вариантов выбора двух мест для уроков математики? Получаем, что число способов выбрать место для уроков физкультуры , так как они должны идти подряд, равно 4(первый из уроков физкультуры должен быть любым из первых 4 уроков). Для математики просто нужно выбрать 2 места из оставшихся после физкультуры трех свободных. Порядок не важен, так как не сказано ничего вроде «один -по алгебре, а другой по геометрии». Значит после выбора мест для физкультуры, мест для математики С32=3.
После того, как с физкультурой и математикой мы разобрались, остался 1 урок. Так как всего предметов 10, то без математики и физкультуры 8.
Наличие слов «после того,как» и при этом то, что число способов для математики не зависит от того, какие именно уроки уже успела захватить физкультура, верный признак того, что осталось применить правило произведения. Количество всех вариантов составления расписания 4*3*8=96.
23 сентября. Лучшие решения за лето.
Очень хорошо, понятно, выделив главные соображения так, что не пришлось даже прибегать к выкладкам, объяснил решение задачи про бактерии Султанбеков Айдарбек .
Тем же, что решение Айдарбека, мне понравилось решение Иры Шемковой задачи о бутылке, потерянной под мостом.
Условие задачи. Катер, плывя вверх по реке, потерял под мостом бутылку.Обнаружив потерю
А теперь красивая и поучительная задача на нахождение геометрического места точек. Пока с ней справилась только Ира Шемкова.
И, наконец, задача о расстановке королей. Многие нашли правильный ответ и привели пример с 9 королями. Но не доказали, что 8 не хватит. Посмотрите, как это сделала Ира.
10 сентября. Получила электронное письмо от Паши Спиридонова. Обычно я всех призываю при решении задач обращать внимание на тему задания. Паша как раз обратил. И задал резонный вопрос:
Уважаемая Елена Зеликовна! При решении задач на сентябрь в задании "Вписанные и описанные четырехугольники" в маршруте на получение зачета я зам етил, что задачи 494 и 495 не относятся к теме "Вписанные и описанные четырехугольники". Вероятно, это опечатка и эти задачи попали туда из других разделов учебника. Если это так, то хотелось бы узнать, какие задачи должны быть на их месте.
Если вас тоже удивляет, как эти 2 задачи попали в задание, прочятите мой ответ Паше.
Паша! Некоторые слова русского языка очень важны в математике, важно их правильно понимать. К таким важным словам относятся и слова "необходимость" и "достаточность". Автор книги А. Шень пользуется любым удобным случаем, чтобы на примерах из жизни и математики помочь читателю научиться правильно понимать и применять эти слова. Тема "Вписанные и описанные четырехугольники" - как раз такой очень подходящий случай. Обязательно, прежде чем решать эти задачи, прочти (если уже читал, то прочти еще раз) стр. 148 книги.
3 февраля. Еще одно объявление.
Пришли электронные письма от мамы Андрея Скнаря из Австралии и от Лизы Ковановой.
<b>Уважаемая Елена Зеликовна, В заданиях на февраль в задании "Расстояние между 2-мя точками на плоскости" маршрут на "5" совпадает с маршрутом на 5 в задании "Осевая симметрия". Напишите на сайте правильный маршрут на "5" в "Расстоянии...", пожалуйста.</b>Отвечаю:
Правильный маршрут на 5 . Задание "Расстояние на плоскости."
1. (задача - подсказка. Решить геометрически.) У прямоугольников АВСВ и
EBFG точка Е лежит на отрезке АВ, F- на отрезке
ВС. Известно, что АВ=a;BC=b$EB=c;BF=d.Найдите площади треугольников DEF
и DGB.
2. С помощью задачи 1 выведите формулу из задачи 716 на стр. 208 книги
"Геометрия в задачах."
7 января. Объявление.
Пришло сразу несколько электронных писем.
Андрей нашёл опечатки в задании за январь тема "Клетчатая бумага-2". Вместо данных заданий дано дублирование заданий (всех, на все маршруты) темы "Простейшие неравенства". На сайте пока не видели изменений и уточнений за январь.
И сразу два от Паши Иванова:
Здравствуйте!
С Новым годом и Рождеством!
В заданиях на январь задачи к "Простейшим неравенствам" и "Клетчатой бумаге-2" одинаковые.(№58,60,335,59,336,337 и т.д. из "Геометрии в задачах").
Сообщите, пожалуйста, какие задачи решать в этих заданиях.
--
С уважением, Иванов Павел.
Уважаемая Елена Зеликовна!В задании "Множество точек на плоскости" в маршруте на "5" зад.6-6 а) - д),р), о). А в зад.6-6 заданий только до ж).
Задания р) и о) есть в задаче 6-1. Что решать?
--
С уважением, Иванов Павел.
Всем спасибо, Паше двойное!
А теперь ответ.
<b>р) и о) не решать. Откуда они взялись - не могу догадаться.</b>В задании "Клетчатая бумага -2"
На зачет 251-257; на 4 добавляем 258 и 259; на 5 добавляем 260.
4 декабря. Паша Иванов уже приступил к выполнению задания на декабрь "Подсчет двумя способами" и обнаружил, что в книге нет 10-ой задачи. Я вспомнила, что эту задачу авторы убрали из книги, по-видимому, чтобы не рекламировать распитие чего бы то ни было. Но задача хорошая. Поэтому решайте. Вот текст:
На олимпе есть игра: всем богам наливают поровну амброзии, затем один бог переливает другому столько амброзии, сколько у того уже было, и это повторяется несколько раз. Однажды удалось слить всю амброзию в чашу Зевса. Докажите, что количество богов является степенью двойки.
20 ноября. Два объявления.
Объявление первое.Я получила письмо:
<b style="font-weight: bold;">Здравствуйте! Хотел уточнить по заданию маршрут на "5" тема "Модуль числа". Похоже, там отпечатка, задания 307 в этом учебнике нет. Сообщите, пожалуйста, задание. С уважением, Сатаров Сердар. </b>С аналогичной просьбой обратился Андрей Державин. Как я обнаружила, я тоже заметила эту опечатку и исправила в своем домашнем экземпляре брошюры с заданиями 307 на 2-12 и) и сразу об этом забыла.
Объявление второе. Разыскивается автор неподписанной работы за сентябрь. Просим откликнуться.
6 ноября. Подсказки к части "на зачет" задания "Модуль числа".
14 октября.Преодолевающим маршрут на зачет задания "Средняя линия треугольника. Предупреждение. Если в задаче про средние линии четырехугольника Вы нарисуете четырехугольник, слишком похожий на параллелограмм, то вы можете не заметить, как, исходя из своего чертежа, вы, как Сережа, станете в доказательстве пользоваться равенством противоположных сторон. Образец подходящего четырехугольника есть в книге на стр.83 (только чертеж должен быть крупнее, чем в книге)
А теперь подсказки преодолевающим маршрут на зачет задания "Доказательство от противного".
К задаче про 15 чисел. Попробуйте сначала решить вспомогательную задачу( я готова даже засчитать её вместо самой задачи):
Даны несколько чисел. Сумма любых 8 из них положительна. Докажите, что среди данных чисел самое большее 7 не являются положительными(то есть отрицательны или равны 0).
А теперь - образец записи решения задачи, похожей на задачу о среднем арифметическом.
Задача. За круглым столом сидят 10 детей. Известно, что каждый из них не старше одного из своих соседей и не моложе другого. Докажите, что все они ровесники.
Доказательство. Допустим противное. Тогда найдутся два ребенка разного возраста , сидящие рядом. Для определенности пусть это Аня и Боря. Боря сидит справа от Ани (там, где у Ани правая рука) и А>Б, где А и Б - их возраста. Пусть остальные , считая в направлении от Ани к Боре - Валя, Гена,...,Игорь. Тогда Валя не старше Бори (рядом с Борей по условию должен быть кто-то, кто его не старше, а Аня старше), Гена не старше Вали и т.д. Значит Аня старше не только Бори, но и всех остальных. А это противоречит тому, что по условию Аня не старше одного из своих соседей. Противоречие получено. Значит наше допущение было неверно, а верно то, что требовалось доказать в условии.
13 октября. Сережа Абушаев из Новосибирска вдохновил меня написать
подсказки преодолевающим маршрут на зачет задания "Координаты на прямой".
К I-1д). Найдите определение целой части на стр.146 . Постарайтесь не путать целую часть х (х в квадратных скобках) с модулем х (х окружен двумя прямыми палочками).Разбейте вопрос задачи на 3 вспомогательных вопроса: (Это поможет понять суть дела, правильно ответить и обосновать ответ. )
1)Бывает ли, что х равен своей целой части? Если да, то когда?
2) Всегда ли х равен своей целой части? Если нет, то при каких х они не равны? Бывает ли, что х меньше своей целой части? Если да, то приведите конкретный пример. Перечитайте определение целой части и проверьте, правильно ли Вы нашли целую часть в своем примере.
Продолжение подсказок - в файле Podskazki 1.docx
25 сентября. Вы заканчиваете или уже закончили выполнять задания на сентябрь? Самое время обобщить то, что вы заметили при решении задач по теме "Взвешивания". Обозначим через А(n) минимальное число шагов, за которое всегда можно угадать задуманную карточку, если карточек n и их делят на каждом шаге на 2 кучки. Как связаны между собой А(2n) и А(n) ? А как связаны А(2n+1) и А(n+1)?
А можете ли вы сформулировать аналогичные утверждения для случая, когда карточки делят на 3 кучки?
Если вы еще не отправили работу на проверку и в конце правильно ответите на эти вопросы, это увеличит оценку за задание на 1 балл, а если еще и как следует обоснуете ответы, то на 2 балла (если Вы и без того выполнили работу на 4 или 5, то оценка будет 5+).
26 мая. Проверила работу за май Паши Иванова. Работа мне понравилась, но за многие задачи пришлось поставить + за построение (то есть за само разрезание) и - или 0 за исследование, то есть за ответы на дополнительные вопросы.Мое замечание к Пашиным ответам о равенстве частей границы здесь:Ivanov Pasha.docx