На этой странице мы помещаем самые лучшие (то есть самые понятные, логичные, красивые и рациональные) решения, присланные вами, а также самые лучшие (красивые, помогающие понять решение) рисунки.
Надеемся, что это будет интересно и полезно многим, и все будут стремиться как можно лучше объяснить и оформить решения.
24 марта. Ира Шемкова прислала красивые геометрические решения двух задач по теме "Векторы".
26 января. Ира Шемкова в последнее время отстает от графика из-за того, что уж очень подробно обосновывает и исследует. Я выбрала несколько самых коротких из её очень длинных решений за ноябрь.
 Ira Shemkova.jpg)
 Shemkova.jpg)
 Shemkova.jpg)
 Shemkova.jpg)
 Shemkova.jpg)
 Shemkova.jpg)
 Shemkova.jpg)
12 января. Ульяна Соколова прислала работу за ноябрь. Наконец-то появилась работа за ноябрь, которую полезно, а не вредно, посмотреть всем.no-17 U. Sokolova.pdf
14 ноября. Нашлась Ульяна Соколова. Прислала работу за октябрь.В работе Ульяны и её репетитора очень четко формулируются и обосновываются две взаимно обратные части в обоснованиях ответов в задачах ГМТ. Рекомендую всем разобрать хотя бы одно- два решения .oct-17 Ul Socolova.pdf
27 ноября. Одна из самых толковых работ за октябрь- работа Маши Барковой. Маша научилась решать задачи на построение не просто как-нибудь, а с помощью геометрических мест точек.oct-17 Masha Barkova.pdf
27 октября. Задание за сентябрь. Только Ира Шемкова решила задачи 676-678 тем способом, который хотелось увидеть мне и, скорее всего, А. Шеню ( судя по тому, как он решает в книге 668 и 669), а не как роботы, натренированные учителями и репетиторами в процессе подготовки к ОГЭ, - исходя из того, что |x-a| это расстояние между соответстующими точками координатной прямой.
15 октября. Одна из лучших работ за сентябрь- работа Юли Палий.sent-17 Julia Paliy.pdf
27 мая. Помещаю 2 работы за апрель, которые мне больше всего понравились- Паши Спиридонова apr- 17-Inuction-Spiridonov.pdf и Паши Ивановаapr-17 Induction Ivanov.pdf.
20 ноября. Помещаю решение задачи про Машу на повторение комбинаторики. Его очень хорошо объяснил Паша Иванов.
Задача 5.
Маша идет на день рождения, где будет 10 мальчиков и 10 девочек (включая Машу). Сколькими разными способами они могут сесть за круглый стол, если лишних мест нет? Сколько среди этих способов таких, в которых справа от Маши будет сидеть мальчик? А таких, что оба соседа Маши - мальчики?
Решение.
10 мальчиков и 10 девочек они могут сесть за круглый стол 20! способами.
Для ответа на второй вопрос сначала сажаем Машу. Это можно сделать 20-ю способами. Место справа от Маши можно заполнить 10 способами , т.к. мальчиков 10. Остальные места заполняются 18! способами. Значит, способов, в которых справа от Маши будет сидеть мальчик 200*18!
Для ответа на третий вопрос сначала сажаем Машу. Это можно сделать 20-ю способами. Место справа от Маши после этого можно заполнить 10 способами , т.к. мальчиков 10. Место слева от Маши после этого можно заполнить 9 способами. Остальные места заполняются 17! способами. Значит, способов, в которых справа от Маши будет сидеть мальчик 20*10*9*17!= 1800 * 17!
Ответ.
20!, 200*18!, 1800 * 17!
19 ноября. Начинаю помещать лучшие решения за ноябрь. Здесь решения двух девочек, Шемковой Иры и Новиковой Маши , одной задачи на 5+ по теме "Разрезание и складывание".
Обратите внимание, что решение Маши можно разбить на решение двух более простых задач:
1. В четырехугольнике АВСD взяты точки P и N на сторонах АВ и СD соответственно так, что ВP -треть АВ, а DN-треть СD. Какую часть площади четырехугольника АВСD составляет площадь АPCN?
2. В четырехугольнике APCN точки М и Q делят пополам стороны АВ и СD. Какую часть площади четырехугольника APCN составляет площадь PMNQ?
.6 октября. Всем (кроме тех, кто еще не отправил свои работы на проверку) советую посмотреть работу нашей взрослой ученицы Довжанской Тамары Ивановны по теме "Применение метода координат в алгебре" sen-16 Dovg.pdf
5 октября. Задания на сентябрь были трудные, но поучительные. Тем, кто хочет извлечь из них еще больше пользы, советую сравнить свои решения с решениями Маши Смагиной. Решения Маши хороши тем, что их легко понимать и из-за хороших объяснений, и благодаря отличному оформлению. Те, кто еще не отправил свою работу на проверку, не подсматривайте. Работа Маши здесь-Sen-16 Smagina Masha.pdf
Решения задач про 5 отрезков и про Змея Горыныча хорошо объяснил Миша Николаев.
Март. Задание "Задание множеств. Уравнение окружности".
В задаче 8-10 требовалось фигуру,заданную рисунком, задать уравнением. Хорошо объяснила решение Ира Шемкова.
Познакомьтесь с лучшими решениями задачи 8-10.
А теперь очень загадочная картина. Её автор Владимир Томм не счел нужным пояснить, что он нарисовал.
Задание "Центральная симметрия". Решение Иры Шемковой задачи о совпадении центров симметрии параллелограммов очень понравилось мне своей научностью - решение опирается на свойства центральной симметрии как геометрического преобразования.
8 апреля. Еще о задачах на графы за февраль.
Многие задачи по этой теме становятся понятнее и поучительнее, если немного изучить теорию графов и стараться находить связи между отдельными задачами и общими теоремами. Так, Рома Шутов заметил интересную связь некоторых задач с понятием двудольного графа.
18 марта. Лучшее за февраль.
Задание "Осевая симметрия".
Поскольку я даже всегда забываю , как называются и как ходят шахматные фигуры, мне очень понравились решения знатоков шахмат задачи про начинающего шахматиста Борю. Особенно решение и рисунок Паши Иванова.
28 февраля+ дополнение 8 апреля. Лучшие работы за январь.
Задание "Соответствие". Паша Иванов очень хорошо объяснил решение трудной задачи про выделенную точку .
Похожие решения прислали еще несколько человек. У некоторых других решение менее рациональное, но более исследовательское, с применением формулы числа сочетаний из n элементов по k и того, что число сочетаний из n по k равно числу сочетаний из n по n-k (кстати, это доказывается без вычислений установлением соответствия: каждому способу выбора kэлементов сопоставляем способ выбора n-k элементов - выбираем все, кроме этих к). Решение Адьяна Очирова интересно тем, что оно использует саму эту идею двойственности, не прибегая к формуле числа сочетаний.
Миша Николаев один из немногих разобрался с задачей про двух игроков.
Задача 4.(№3)
По кругу расставлены 8 точек. Двое по очереди соединяют их отрезками. Первый отрезок проводится произвольно, а каждый следующий отрезок начинается из конца предыдущего. Проигрывает тот, кто не может провести новый отрезок (дважды проводить отрезок нельзя). Предположим, что игроки не делают ошибок. Кто из них победит: первый или второй ?
Задание "Простейшие неравенства" Посмотрите, как Маша Дмитриева обосновала решение задачи про колодцы.
19 февраля. Добавление к декабрю. Эту задачу про трапецию решили многие, причем разными способами, но мне больше всего понравилось решение Маши Широковой. Оно ближе к сути дела.
Задача. Точки M иN - середины боковых сторон АВ и CD трапеции АВСD.Могут ли прямые ВN и DM быть параллельными?
Решение Маши:
12 февраля. Декабрь. Задание "Расстояние между двумя точками на прямой.
Целью большинства задач из этого задания было научиться применять при решении уравнений и неравенств с модулем то, что модуль разности чисел а и в это расстояние между точками прямой с координатами а и в. Очень хорошо объяснил решения этих задач Владимир Плешко.
А теперь решения задач из маршрута на 5 Соколовой Ульяны и Шемковой Иры. Их очень поучительно прочитать и сравнить.
Задание "Трапеция. " Задачу на доказательство равенства трапеций по основаниям и диагоналям большинство решает красиво, но одинаково. Поэтому мне очень понравилось оригинальное решение Маши Щегловой.
11 февраля. Еще одна задача за ноябрь . Тема четность. Поучительно сравнить два хороших решения одной задачи двумя разными способами. Авторы - Юля Блюмберг и Миша Николаев.
Задача № 9 Решение Миши Николаева.
На доске написаны числа 1, 2, …, 101. Разрешается стереть любые два числа и написать их разность. Повторив эту операцию 100 раз, мы получим одно число. Докажите, что это число не может быть нулем.
Решение:
Сумма всех написанных чисел (101+1)х101/2 – число нечетное.
Пусть а>в и а=в+n
Разность а и в: в+n-в=n
Стираем сумму в+n+в=2в+n.
2в+n и n различаются на 2в, отсюда из общей нечетной суммы вычитаем 2в – число четное.
После каждой операции получаем нечетную сумму, а нужно получить нуль, т. е. Предыдущие два числа должны быть одинаковыми, а значит иметь четную сумму. Это невозможно.
3 января. Работы за ноябрь.
Задание "Модуль числа".
Мне очень понравилось, как объясняет решения "нестандартных " уравнений с модулем новая ученица Ульяна Соколова.
Задание "Чётность"
Прочтите решение Иры Шемковой задачи про кузнечиков.
3 января. Работы за октябрь. Задание "Доказательства методом от противного".
Ира Шемкова очень хорошо объяснила решение задачи о бесконечности множества простых чисел вида 4k+3.
10 сентября. Задание "Прямоугольник. Ромб. Квадрат."(Оно было только у тех, кто проучился в ВЗМШ уже 2 года.)
Мне понравилось, что в задаче о разрезании креста на 5 квадратов вы совместными усилиями нашли много разных оригинальных вариантов разрезания.
Тема "Игры. Симметрия."
В работе Тони Зубаревой мне понравились и объяснения, и рисунки. Смотрите сами.
Задание "Выигрышные и проигрышные позиции."
С этим заданием многие справились хуже, чем с предыдущим. Подобно тому, как в методе координат точки задаются числами или парами чисел, здесь нужно научиться описывать числами позицию.Многие , например, не поняли, что задачи 789 синяя и черная это с точки зрения математики одна и та же задача, так как в обоих позиция описывается упорядоченной парой чисел, а ход переводит в позицию, в которой либо одно, либо оба числа из пары уменьшены на 1. И что поэтому позиции в игре с двумя кучами камней удобно изображать клетками бесконечной шахматной доски.Посмотрите, как использовала это Тоня Зубарева.
А теперь Тонино решение задачи о часах. В этой задаче , хотя позиция - число от 1 до 12(лучше - по модулю 12), но удобно их изображать именно числами на циферблате часов.
Работы на май. Разрезания. С дополнительными вопросами на исследование лучше всех справилась Ира Шемкова.
.jpg)
В задаче 107 б) полного исследования вариантов не сделал никто, но больше всего вариантов нашла Таня Троянок.
.jpg)
А Маша Щеглова нашла сразу 2 варианта разрезания в задаче 115 а).
