Новое письмо

Мы изучим ваш вопрос, пожелание или просьбу.

Наши специалисты обязательно ответят вам в ближайшее время.

Сообщение:
Телефон или адрес электронной почты для связи с вами:
Пример:
8 905 456-56-84
или (343) 321-54-88
или email@ya.ru
Посчитайте результат: =
Отменить

Вступительная работа

  Рядом с порядковым номером задачи в скобках указано, ученикам какого класса эта задача предназначается (имеется в виду тот класс, в котором вы предполагаете учиться в 2017-2018 учебном году). Вы можете, если хотите, дополнительно решать задачи, адресованные более старшим классам.

  Не торопитесь, а если задачи не получаются, возвращайтесь к ним несколько раз. Возможно, вы не сможете решить все задачи своего класса, присылайте решения тех, которые сделать удалось. Не забудьте обосновать свои решения, «голый» ответ к задаче решением не считается.
  Успехов!

Вступительная работа по математике на 2017-2018

 учебный год

1. (6 – 7) В соревновании участвовали 40 стрелков. Первый выбил 50 очков, второй – 70, третий – среднее арифметическое очков первых двух, четвёртый – среднее арифметическое первых трёх и т.д.: каждый следующий выбил среднее арифметическое очков всех предыдущих. Сколько очков выбил 37-й стрелок?

2. (6 – 7) Два спортсмена при подготовке к мировому чемпионату должны ежедневно одинаковое целое число часов бегать по дорожкам стадиона. Тренировку спортсмены начинают одновременно, но придерживаются разных графиков её проведения. Первый спортсмен после  каждой двадцатиминутной пробежки две минуты восстанавливает дыхание, второй отдыхает одну минуту после каждых десяти минут непрерывного бега. Кто из спортсменов раньше закончит свой бег?

3. (6 – 9) В 18 веке в России установилось регулярное движение почтовых карет по маршруту Петербург – Москва. Каждый день в полдень из Петербурга выезжала карета с почтой и приезжала в Москву ровно через 6 дней и тоже в полдень. Точно по такому же расписанию выезжали кареты из Москвы. Кареты в обоих направлениях следуют одной и той же дорогой. Сколько почтовых карет встретит выезжающая на дистанцию карета?

4. (7 – 8) Дорога из дома до школы занимает у Ларисы 16 мин. Однажды по дороге в школу она вспомнила, что забыла дома учебник. Если она продолжит путь в школу, она придёт за 2 мин до звонка, а если вернётся за учебником, то придёт через 6 мин после звонка (ходит она всегда с одной и той же скоростью). Какую часть пути от дома до школы прошла она, когда вспомнила об учебнике?

5. (7– 10) Сколько существует трёхзначных чисел с суммой цифр 8?

6. (8 – 9) Дан правильный пятиугольник ABCDE. Точка F симметрична E относительно диагонали AD. Можно ли выложить всю плоскость пятиугольниками, равными ABCDF?

7. (8 – 10) Собранный мёд заполняет несколько 50-литровых бидонов. Если его разлить в 40-литровые бидоны, то понадобится на 5 бидонов больше, но один из них останется неполным. Если собранный мёд разлить в 70-литровые бидоны, то понадобится на 4 бидона меньше, но снова один из них окажется неполным. Сколько 50-литровых бидонов заполняет собранный мёд?

8. (9 – 11) Ленивый сочинитель задач для математических олимпиад  каждый год предлагает задачу одного и того же содержания. В 2016 году задача звучит так.

Прямоугольник разбит на клетки со стороной в 1 см. В каждой клетке стоит число. Сумма всех чисел в каждой строке равна 1, сумма всех чисел в каждом столбце равна  2. Может ли площадь прямоугольника равняться 2016 см2?

Решите задачу. В каком году ответ к задаче станет другим?

9. (10 – 11) На прямой последовательно отложены отрезки АВ = 2, ВС = CD = 1, DE = 2. Из точки М вне этой прямой все указанные отрезки видны под равными углами. Найдите эти углы.

10. (9 – 11) Решите систему уравнений:  x+y=2 ;  xy-z2=1 .

11. (9 – 11) Точки А1, B1 и С1 симметричны центру I вписанной в треугольник АВС окружности относительно его сторон ВС, АС и АВ соответственно. Окружность, описанная около треугольника A1B1C1, проходит через точку А. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника АВС, если ВС = а.

12. (10 – 11) Числа 1, 2, 3, …, 200 разбили на 50 непересекающихся групп. Всегда ли среди этих групп найдётся такая, что в ней содержатся три числа, являющиеся сторонами некоторого треугольника?