Новое письмо

Мы изучим ваш вопрос, пожелание или просьбу.

Наши специалисты обязательно ответят вам в ближайшее время.

Сообщение:
Телефон или адрес электронной почты для связи с вами:
Пример:
8 905 456-56-84
или (343) 321-54-88
или email@ya.ru
Посчитайте результат: =
Отменить

Вступительная работа

  Рядом с порядковым номером задачи в скобках указано, ученикам какого класса эта задача предназначается (имеется в виду тот класс, в котором вы сейчас учитесь). Вы можете, если хотите, дополнительно решать задачи, адресованные более старшим классам.

  Не торопитесь, а если задачи не получаются, возвращайтесь к ним несколько раз. Возможно, вы не сможете решить все задачи своего класса, присылайте решения тех, которые сделать удалось. Не забудьте обосновать свои решения, «голый» ответ к задаче решением не считается.
  Успехов!

Вступительная работа по математике (весенний семестр, 2017-2018  учебный год)


а)  (5) Эми, Бен и Крис выстроились в ряд. Если известно, что Эми слева от Бена, а Крис справа от Эми, какое из следующих утвержденийточно правдиво? 1. Бен крайний слева;     2. Крис крайний справа; 3. Эми стоит в середине; 4. Эми крайняя слева; 5. Ни одно из утверждений выше не является верным.

б)  (5)  Мистер и миссис Смит поженились 18 лет назад. Тогда мистер Смит был в три раза старше своей жены. Но сегодня он всего в два раза старше ее. Сколько лет было миссис Смит, когда она выходила замуж?

в)  (5)  Альберт Эйнштейн экспериментирует с двумя необычными часами, у обоих из них 24-часовой циферблат. Одни часы идут вдвое быстрее нормальной скорости. Другие часы идут с нормальной скоростью, но назад. При этом и те, и другие показывают верное время в 13.00. В какое ещё время показания этих часов совпадают?

1. (6 – 7) Простые числа расположили в виде последовательности в порядке возрастания. Верно ли, что среднее арифметическое двух соседних простых чисел не может быть простым числом?

2. (6 – 7)  В коробке лежат воздушные шарики: 10 красных и 10 синих. Продавец не глядя достает по одному шарику. Сколько шариков ему надо вытащить, чтобы среди них обязательно нашлись а) два шарика одного цвета? б) два шарика разного цвета? в) три шарика одного цвета?

3. (6 – 7) Припишите к числу 10 справа и слева по одной цифре так, чтобы полученное число делилось на 12.

4. (6 – 8)  Петя отпил 1/2 стакана кофе и долил его молоком. Потом он отпил 1/3 стакана и опять долил молоком. Наконец, он отпил 1/6 стакана, долил молоком и выпил весь стакан. Чего Петя выпил больше, кофе или молока?

5. (8 – 10) Два города А и В расположены на берегу реки на расстоянии 10 км друг от друга. Пароход может проплыть из А в В и обратно за 1 час. Больше или меньше времени понадобится ему, чтобы проплыть 20 км по озеру?

6. (7 – 10) а) Можно ли занумеровать ребра куба натуральными числами от 1 до 12 так, чтобы для каждой вершины куба сумма номеров ребер, которые в ней сходятся, была одинаковой?

  б) Аналогичный вопрос, если расставлять по ребрам куба числа -6,-5,-4,-3,-2,-1,1,2,3,4,5,6.

7. (8-11) Найдите целые числа xи y такие, что  x>y>0 и x3+7y=y3+7x.

8. (9 – 11) Разложите на множители:

  а)  х84+1  (на три множителя)

  б)  х5+х+1  (на 2 множителя)

9. (8 – 11) В равнобедренном треугольнике биссектриса угла при основании равна одной из сторон. Определите углы треугольника.

10. (9 – 11) а) Докажите, что при а>0  а + 1/a≥ 2.

  б) Постройте график функции y = x + 1/x.

11. (9 – 11) Известно, что a  + b + c < 0 и что уравнение ax2+bx+c=0 не имеет действительных корней. Определите, какой знак имеет число с.

12. (9 – 11) Можно ли восстановить треугольник по серединам его сторон? А четырёхугольник? Любой ответ требует доказательства!