Вступительная работа по математике
Рядом с порядковым номером задачи в скобках указано, ученикам какого класса эта задача предназначается (имеется в виду тот класс, в котором вы будете учиться в следующем учебном году). Вы можете, если хотите, дополнительно решать задачи, адресованные более старшим классам.
Для поступающих в 4 класс вступительная работа не требуется.
Не торопитесь. Возможно, вы не сможете решить все задачи своего класса, присылайте решения тех, которые сделать удалось. Не забудьте обосновать свои решения, «голый» ответ к задаче решением не считается. Успехов!
1. (5-6 кл.) Полоску бумаги разрезали на три части. После этого самую большую из полученных частей снова разрезали на три части. Затем снова самую большую из полученных частей разрезали на три части. Так поступили много раз: на каждом шаге самую большую часть разрезали на три части. Могло ли в итоге получиться 100 частей?
2. (5-6 кл.) Группу из 387 школьников и 63 сопровождающих их педагогов, прибывших на заключительный этап всероссийской олимпиады по математике, разместили в гостиничном комплексе в двухместных и трёхместных номерах. Сколько человек разместили в трёхместных номерах, если известно, что всего оказались задействованы 190 номеров, и при этом ни в одном из номером не было пустующего места?
3. (5-6 кл.) Все натуральные числа от 1 до 1000 записали в следующем порядке: сначала были выписаны в порядке возрастания числа, сумма цифр которых равна 1, затем, также в порядке возрастания, числа с суммой цифр 2, потом — числа, сумма цифр которых равна 3 и т.д. На каком месте оказалось число 996?
4. (6-7 кл.) Бился Иван-Царевич со Змеем Горынычем, трёхглавым и трёххвостым. Одним ударом он мог срубить либо одну голову, либо один хвост, либо две головы, либо два хвоста. Но, если срубить один хвост, то вырастут два; если срубить два хвоста — вырастет голова; если срубить голову, то вырастает новая голова, а если срубить две головы, то не вырастет ничего. Как должен действовать Иван-Царевич, чтобы срубить Змею все головы и все хвосты как можно быстрее?
5. (6-7 кл.) В стране Цифра есть 9 городов с названиями 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Путешественник обнаружил, что два города соединены авиалинией в том и только в том случае, если двузначное число, составленное из цифр — названий этих городов, делится на 3. Можно ли добраться из города 1 в город 9?
6. (6-7 кл.) Мамонт, мамонтиха и мамонтёнок пришли к озеру, чтобы напиться воды. Мамонт может выпить озеро за 3 ч, мамонтиха — за 5 ч, а мамонтёнок — за 6 ч. За сколько времени они все вместе выпьют озеро?
7. (7-9 кл.) В старой усадьбе дом обсажен по кругу деревьями — елями, соснами и берёзами — всего деревьев 96. Они обладают странным свойством: из двух деревьев, растущих через одно от любого хвойного, одно хвойное, а другое лиственное, и из двух деревьев, растущих через три от любого хвойного, тоже одно хвойное, а другое лиственное. Сколько берёз посажено вокруг дома?
8. (7-9 кл.) Точка М лежит на основании АС равнобедренного треугольника АВС, причем оба треугольника, АВМ и СВМ, также равнобедренные. Каким может быть угол АВС?
9. (7-9 кл.) Два города А и В расположены на берегу реки на расстоянии 10 км друг от друга. Пароход может проплыть из А в В и обратно за один час. Больше или меньше времени понадобится ему, чтобы проплыть 20 км по озеру?
10. (8-10 кл.) Мальчик Петя начал писать контрольную работу между 10 и 11 часами, а закончил – между 14 и 15 часами. Он заметил, что за время его мучений стрелки часов поменялись местами. Сколько было времени, когда он закончил работу?
11. (8-10 кл.) Найдите радиус окружности, вписанной в четверть единичного круга (окружность должна касаться и дуги круга, и ограничивающих четверть круга радиусов).
12. (8-10 кл.) Три брата родились в один и тот же день, но в разные годы. Когда старшему исполнилось 13 лет, сумма возрастов всех трех братьев нацело разделилась на 13. (Подразумевается, что все они к тому времени уже родились.) Докажите, что когда среднему из братьев исполнится 13 лет, сумма возрастов всех братьев не будет кратна 14
13. (9 – 11кл.) Разложите на множители:
а) х8+х4+1 (на три множителя)
б) х5+х+1 (на 2 множителя)
14. (9 – 11кл.) а) Докажите, что при а>0 а + 1/a≥ 2.
б) Постройте график функции y = x + 1/x.
15. (9 – 11кл.) Известно, что a + b + c < 0 и что уравнение ax2+bx+c=0 не имеет действительных корней. Определите, какой знак имеет число с.
16. (9 – 11кл.) Можно ли восстановить треугольник по серединам его сторон? А четырёхугольник? Любой ответ требует доказательства!
Отправьте ответы нам любым удобным способом: электронной почтой, простым письмом, или с помощью обратной связи на нашем сайте. Требуются лишь базовые знания - не беспокойтесь, если вы решили не все задачи. Не забудьте представится. И написать в какой класс вы поступаете.
Сайт
школы: https://vzms.ru/
сайт
математического
отделения– http://www.math-vzms.org/
почта
приемного отделения: priem@math-vzms.org
Наш почтовый адрес: 119333, Г. Москва, ул.Фотиевой 18, Лицей Вторая школа
Тел. (8-926)-280-28-20